Условия задач 9 класс.

1. Тело бросили вертикально вверх с поверхности земли. Расстояние l между этим телом и неподвижным наблюдателем изменяется со временем t по закону, показанному на графике на рисунке 1. На какой высоте над землей и на каком расстоянии от линии, по которой движется тело, находится наблюдатель? Чему равна начальная скорость тела? Величины l_o, l₁ и l₂ считать известными, ускорение свободного падения равно g.

2. Легкий цилиндр зажат между двумя одинаковыми рычагами так, что угол между ними равен a (рис). Точками показаны неподвижные оси рычагов, а стрелками – силы, приложенные к концам рычагов. При каком минимальном коэффициенте трения между рычагами и цилиндром он может находиться в равновесии в этом положении? Силой тяжести пренебречь.

3. В калориметре с некоторым количеством воды находится электронагреватель постоянной мощности. Если включить нагреватель в сеть, а в калориметр добавлять воду с температурой 0 ^oC со скоростью 1 г/с, то установившаяся температура воды в калориметре будет равна 50 ^oC. Какая температура установится в калориметре, если в него вместо воды добавлять лед с температурой 0 ^oC со скоростью 0,5 г/с? Теплообменом калориметра с окружающей средой пренебречь. Удельная теплоемкость воды равна 4,2 кДж/(кг×^oC), удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг.

4. На циферблате башенных часов, изготовленном из непроводящего материала, между соседними металлическими делениями, расположенными через 1 минуту по всему кругу, включены одинаковые резисторы сопротивлением r каждый. На концах часовой и минутной стрелок, также изготовленных из непроводящего материала, имеются контакты, соприкасающиеся с минутными делениями, находящимися под соответствующей стрелкой. Минутная стрелка скачком сдвигается на одно деление через каждую минуту, а часовая – через каждые 12 минут. Ровно в 12.00 к контактам на концах стрелок подсоединили прибор для измерения сопротивления – омметр. Через какое время после этого показания омметра в первый раз достигнут максимального значения и чему равно это значение?

5. В вертикальный цилиндрический стакан налита вязкая жидкость коэффициентом преломления n = 1,5. Сверху в стакан вертикально падает параллельный пучок света постоянной интенсивности. Стакан с жидкостью раскрутили вокруг оси до угловой скорости w =1 рад/с, при этом высота столба жидкости на оси стакана стала равной h = 30 см. На сколько процентов изменилась после раскручивания интенсивность света, падающего вблизи центра стакана? Ускорение свободного падения g = 10 м/с², поглощением света в жидкости и отражением его внутри стакана пренебречь.

Решение задач.

Решение 1. Пусть наблюдатель находится на высоте h и на расстоянии a от линии, по которой движется тело. Возможны два случая:

а) тело не долетает до высоты, на которой находится наблюдатель, – в этом случае расстояние l от тела до наблюдателя сначала уменьшается, а затем увеличивается;

б) тело поднимается выше наблюдателя, – в этом случае расстояние l сначала уменьшается от  до a, затем увеличивается до , где H – высота подъема тела, а потом опять уменьшается до a и увеличивается до .

Как видно из приведенного в условии рисунка, реализуется именно второй случай. При этом

.

Отсюда находим:

.

Начальную скорость тела можно определить из соотношения , откуда

.

Решение 2. На цилиндр со стороны рычагов действуют силы одинаковой величины F. Чтобы цилиндр находился в равновесии, сумма этих сил и сумма их моментов должны равняться нулю. Это возможно только в том случае, когда эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложения, т. е. точки касания цилиндра с рычагами. Из рисунка видно, что угол между направлением каждой из этих сил и нормалью к соответствующему рычагу равен a/2. Силу F можно представить как векторную сумму силы реакции рычага, равной по величине  и направленной перпендикулярно рычагу, и силой трения, равной по величине  и направленной вдоль рычага. Поскольку

, то .

Решение 3. Найдем сначала мощность электронагревателя. В установившемся режиме m₁ = 1 г воды за 1 c нагревается на Dt₁ = 50 ^oC, получая при этом количество теплоты

.

Следовательно, мощность электронагревателя составляет 210 Вт.

Обозначим установившуюся температуру воды в колориметре во втором случае через t₂. Тогда при той же мощности нагревателя за 1 c количество теплоты 210 Дж будет тратиться на плавление m₂ = 0,5 г льда и нагревание получившейся при этом воды от 0 ^оС до температуры t₂. Отсюда

.

Решение 4. Пусть между часовой и минутной стрелками расположено k резисторов. Тогда омметр будет измерять сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных резисторов сопротивлениями kr и (60 – k)r. Сопротивление такой цепи равно

.

Таким образом, показания прибора достигают  при k = 30, когда стрелки выстраиваются вдоль одной прямой. В первый раз это случится в 12 ч 32 мин, когда часовая стрелка сдвинется на 2 деления, а минутная – на 32 деления, т. е. через 32 мин после 12. 00.

Отсюда

.

Решение 5. При вращении жидкости вместе со стаканом ее поверхность искривляется, вследствие чего параллельный пучок света после преломления становится расходящимся. Рассмотрим небольшой элемент жидкости, находящийся на ее поверхности на расстоянии r от оси вращения O₁O. На него действуют сила тяжести mg и суммарная сила давления N со стороны остальной жидкости. Эти силы обеспечивают равномерное вращение рассматриваемого элемента по окружности с угловой скоростью w, сообщая ему центростремительное ускорение. Уравнения движения этого элемента в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси имеют вид:

,

где a – угол наклона к горизонту поверхности жидкости в данной точке. Отсюда

.

Луч света, идущий вдоль оси вращения O₁O, не преломляется. Рассмотрим ход луча ABC, преломляющегося в точке B на небольшом расстоянии r от оси вращения. В соответствии с законом преломления света

.

Углы a, b и g = a – b можно считать малыми, так что

.

Отсюда

.

Далее найдем расстояние OC от оси вращения до точки падения преломленного луча на дно стакана:

.

Пока жидкость была не раскручена, все лучи, идущие на расстоянии, меньшем r, от оси O₁O, не преломлялись и попадали в круг радиусом r на дне, т. е. энергия пучка распределялась по площади . После раскручивания жидкости эти же лучи попадут в круг на дне радиусом OC, т. е. энергия пучка распределится по площади

.

Поэтому интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана, изменится в

раза,