Условия задач 8 класс.

1. На вездеходе установлен курсограф – самописец, записывающий зависимости от времени текущей скорости (верхний график на рис.) и направления движения этого вездехода (нижний график на рис.). На рисунке показаны такие записи для некоторого маршрута, пройденного вездеходом. Определите с точностью до километра, где (относительно начала пути) вездеход оказался в конце маршрута?

2. Известно, что при помощи подвижного блока можно получить выигрыш в силе в 2 раза. Школьник Вася изобрел такую схему из подвижных и неподвижных блоков, которая дает выигрыш в силе в 7 раз. Придумайте и нарисуйте возможные варианты этой схемы.

3. В стоящий на столе калориметр налита вода комнатной температуры t_o. С большой высоты h в калориметр падают одинаковые капли воды той же температуры t_o (рис). На уровне поверхности воды в калориметре имеется небольшое отверстие, через которое вытекает лишняя вода. Какая температура установится в калориметре спустя большое время после начала падения капель? Удельная теплоемкость воды равна c, ускорение свободного падения капель равно g. Теплоемкостью калориметра, отдачей тепла от его стенок и испарением воды можно пренебречь.

2 тур.

4. На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зеленый – в течение следующих 30 секунд. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/час, проехав один из светофоров на зеленый свет, проезжают без остановки, т.е. тоже на зеленый свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зеленый свет, далее нигде не останавливаться?

5. Для того, чтобы измерить подъемную силу воздушного шарика, Вася использовал два тонких невесомых рычага I и II, оси которых O₁ и O₂ параллельны. Рычаги горизонтальны и имеют область «перекрытия» длиной x (рисунок 1). К свободному концу рычага I Вася привязал шарик, а на свободный конец рычага II поставил гирю массы M. Какой должна быть подъемная сила F шарика, чтобы он мог перетянуть гирю? А какой она должна быть, чтобы гиря перетянула шарик? Расстояния l₁, l₂, l₃ и l₄ считать известными.

6. U-образная трубка заполнена водой плотностью r (рис). Узкое колено этой трубки с площадью сечения S закрыто невесомым поршнем, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный и подвижный блоки. Широкое колено трубки, площадь сечения которого в n = 2 раза больше, чем у узкого, открыто. К оси подвижного блока подвешен груз массой M, и система находится в равновесии. На какое расстояние сдвинется груз, если в открытое колено трубки долить воду массой m, а к грузу массы M прикрепить дополнительный груз массы m? Считать, что поршень все время касается поверхности воды, трения нет, нить и блоки невесомы.

Решение задач.

Решение 1. Из верхнего графика следует, что скорость вездехода на начальном и конечном участках маршрута равна 36 км/ч, а на среднем участке пути – 51 км/ч, т. е. в  раз больше. Время движения на всех трех участках одинаково и составляет по 0,5 часа. Поэтому, как следует из нижнего графика, вездеход сначала проехал 18 км на север, затем 25,5 км на юго-восток, и, наконец, еще 18 км на запад. Таким образом, траектория его движения представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, и в конце пути вездеход вернулся в исходную точку.

Решение 2. Одна из возможных схем на (рисунок слева). Действительно, если тянуть за нить с силой f, то на каждый подвижный блок со стороны нити будет действовать сила 2f, а на поднимаемое тело будет действовать суммарная сила 7f.

Другая возможная схема представлена на следующем рисунке. В этом случае сила натяжения нити f/2, на каждый подвижный блок действует сила f, а на поднимаемое тело будет действовать суммарная сила 7f.

Решение 3. При падении капли массой m в калориметр сила тяжести совершает работу mgh, которая превращается в теплоту. До установления теплового равновесия эта теплота идет как нагревание капли, так и на нагревание воды в колориметре. Теплообмен между каплей и водой прекратится и наступит тепловое равновесие, когда температура воды сравняется с температурой нагретой капли. В этом случае изменение температуры капли Dt определяется равенством mgh = cmDt, а в колориметре установится температура

,

которая в дальнейшем меняться не будет.

Решение 4. Нарисуем график движения автомобиля. По горизонтальной оси будем откладывать время t в секундах, по вертикальной пройденный путь S в километрах. Изобразим на этом графике сигналы каждого из светофоров: запрещающие красные – в виде черточек, а зеленые – в виде промежутков между ними.

Тогда график движения любого автомобиля, движущегося без остановок, должен проходить только через светлые промежутки. Заметим, что расстояние 1 км между соседними светофорами автомобиль движущийся со скоростью 40 км/ч, проедет за 1/40 ч = 90 с. Таким образом, он сможет проехать следующий светофор без остановки, только если разрешающие и запрещающие сигналы светофоров будут распределены так, как показано на рисунке. Из графика видно, что автомобиль будет двигаться без остановок на светофорах в том случае, если он будет преодолевать 1 км за 30 c, 90 c, 150 c, …, 30 + 60n c, …, где n = 0, 1, 2, … Следовательно, скорость автомобиля, которая требуется для движения по шоссе без остановок на светофорах, может быть равна

.

Решение 5. Рассмотрим по отдельности два возможных случая.

1. Шарик перетягивает гирю. При этом рычаг I касается рычага II в точке, находящейся на расстоянии x от левого конца рычага II, и левое плечо рычага II становится равным l₃ – x. В точке касания рычаги действуют друг на друга силами f₁ и f₂, равными по величине (f₁ = f₂ = f) и противоположными по направлению. Используя правило рычага, получим условия, которые должны выполняться для того, чтобы шарик мог перетянуть гирю:

 – для рычага I;

 – для рычага II.

Отсюда:

.

2. Гиря перетягивает шарик. В этом случае рычаг II касается рычага I в точке, находящейся на расстоянии x от правого конца рычага I, и правое плечо рычага I становится равным l₂ – x. При этом неравенства, полученные из правила рычага, выглядят так:

 – для рычага I;

 – для рычага II.

Отсюда:

.

Решение 6. Поскольку подвижный блок дает выигрыш в силе в два раза, то сила натяжения нити вдвое меньше веса груза. В состоянии равновесия вес груза равен Mg, поэтому разность уровней воды h в коленах трубки определяется из условия

и равна, таким образом,

.

После увеличения массы груза на m разность уровней увеличится на

.

Пусть теперь после увеличения массы груза долили воду массой m в открытое колено трубки, и полное (по сравнению с начальным) повышение уровня воды в узком колене составило величину y. Тогда, поскольку при навешивании дополнительного груза разность уровней воды в коленах трубки увеличилась на Dh, в открытом широком колене уровень воды должен повыситься на y – Dh. При этом изменение объема воды равно

.

Груз, очевидно, опустится вниз на расстояние