Условия задач 7 класс.

1. На кольцевой трассе длиной 4 км со старта одновременно уезжают два автомобиля. Время прохождения одного круга у первого автомобиля равно 2 мин, а у второго – 2 мин 03 сек. После 20-го круга у первого автомобиля произошла поломка, и его скорость уменьшилась на 10 км/час. Успеет ли второй автомобиль обогнать первый и придти к финишу раньше него, если каждый автомобиль должен проехать 36 кругов?

2. В спиртовой стеклянный термометр с внутренним диаметром капилляра 0,35 мм залили 5 мл подкрашенного спирта плотностью 789 кг/м³ при температуре 25 ^oС. На сколько изменится плотность спирта при понижении температуры до –15 ^oС, если шкала термометра от –50 ^oС до +50 ^oС имеет длину 15 см? Тепловым расширением стекла пренебречь.

3. Найти силу, действующую на каждую из половинок детского воздушного шарика радиусом 10 см, если давление внутри него на 1500 Па превышает атмосферное. Для справок: площадь круга S_кр = pR², длина окружности l = 2pR, площадь поверхности сферы S_сф = 4pR², где R – радиус круга или сферы. (Можно положить p = 3,14).

4. Имеется 10 мешочков с золотыми монетами. В каждом мешочке находится по 1000 монет. В одном из мешочков находятся только фальшивые монеты, в остальных – только настоящие. Вес настоящей монеты равен 12,70 г, а фальшивая монета на 0,50 г легче. Как за одно взвешивание на весах, которые могут взвешивать груз до 2 кг с точностью 0,05 г, определить мешочек, в котором находятся фальшивые монеты? Из любого мешочка можно доставать любое количество монет.

Решение задач.

Решение 1. Скорость первого автомобиля равна v₁ = 4 км/2 мин = 120 км/ч. После 20-го круга, когда у первого автомобиля произошла поломка, его скорость уменьшилась на 10 км/ч и стала равной . Найдем время, необходимое автомобилям на прохождение 36 кругов: для первого автомобиля

,

а для второго

.

Таким образом, второй автомобиль успеет обогнать первый.

Решение 2. Масса залитого спирта равна

.

Изменение объема спирта при охлаждении равно

Поэтому изменение плотности спирта будет равно

.

Решение 3. Поскольку каждая из половинок шарика находится в равновесии (шарик неподвижен), то суммарная сила, действующая на половинку шарика, равна нулю. Эта сила складывается из силы натяжения оболочки, действующей на данную половинку шарика со стороны другой его половинки, и силы избыточного давления воздуха внутри шарика, направленной противоположно силе натяжения оболочки и равной ее по величине. Сила избыточного давления воздуха внутри шарика приложена перпендикулярно к диаметральной полости, которой мы мысленно делим шарик на половинки. Таким образом, сила, действующая на каждую из половинок шарика со стороны резиновой оболочки другой его половинки, равна

.

Решение 4. Пронумеруем мешочки и достанем из первого одну монету, из второго – две, из третьего – три, и т. д., вплоть до десятого мешочка, из которого достанем 10 монет. Всего, таким образом, мы достанем

 монет,

масса которых

55×12,7 = 698,5 г = 0,6985 кг < 2 кг,

так что мы можем за одно взвешивание определить их общую массу m. Число фальшивых монет N, равное искомому номеру мешочка, можно найти разделив разницу между массой 55 настоящих монет и измеренной m отобранных нами монет, на разницу в массе настоящей и фальшивой монеты, равную 0,5 г:

.

При этом ошибка в определении N не превысит

,

так что номер мешочка будет определен однозначно.