Условия задач 8 класс.

1. Велосипедисту и автобусу нужно проехать из пункта A в пункт Б, расстояние между которыми равно 11 км. Они выезжают одновременно. Автобус, двигаясь со скоростью 60 км/ч, через каждый километр пути делает остановку на 2 мин. Велосипедист движется с постоянной скоростью, не останавливаясь. Какой должна быть скорость велосипедиста, чтобы он обгонял автобус на каждой промежуточной остановке между пунктами A и Б?

2. Алюминиевую болванку массой M = 108 кг нужно переправить на противоположный берег озера. В качестве «плавсредства» можно использовать сосновое бревно с площадью поперечного сечения S = 0,034 м². Болванка привязывается к бревну веревкой. Какова должна быть минимальная длина L бревна? Плотность алюминия r_а = 2700 кг/м³, плотность древесины r_д = 600 кг/м³, плотность воды r_в = 1000 кг/м³. Сам переправляющий может плыть к тянуть бревно с болванкой за собой на веревке.

3. В сосуд, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, основание которого – квадрат со стороной a =10 см, налили V₁ л воды с температурой t₁ = 5 ^oC, после чего положили туда кубик льда массой m = 100 г с температурой t₂ = 0 ^oC. Какими будут установившиеся температура, состав системы и уровень воды в сосуде? Удельная теплота плавления льда l = 335 кДж/кг, удельная теплоемкость воды c = 4,2 кДж/(кг×^oC), плотность воды r_в = 1 г/см³, плотность льда r_л = 0,9 г/см³. Теплоемкостью сосуда и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение задач.

Решение 1. График зависимости  пройденного автобусом пути S от времени t показан на рисунке. Он представляет собой ломанную линию, на которой наклонные участки соответствуют движению автобуса, а горизонтальные – его остановкам. Аналогичный график для велосипедиста представляет собой прямую линию.

Велосипедист будет обгонять автобус на каждой из десяти остановок, если график для велосипедиста будет пересекать каждый из горизонтальных участков графика для автобуса. Это возможно, если на отметке «10 км» велосипедист будет находиться в период времени от 28 мин до 30 мин (на рисунке показаны два графика зависимости S(t) для велосипедиста, соответствующим эти двум предельным случаям). Поэтому скорость велосипедиста должна лежать в интервале от v₁ = 10 км/30 мин = 20 км/ч до v₂ = 10 км/28 мин » 21,4 км/ч.

Решение 2. Для того, чтобы болванка не пошла ко дну, бревно во время переправы должно хотя бы немного выступать над поверхностью воды. При этом на полностью погруженную в воду болванку и бревно должна действовать выталкивающая сила Архимеда, большая по величине, чем действующая на них суммарная сила тяжести. Объем бревна равен LS, объем болванки – M/r_a. Следовательно

.

Отсюда

.

Решение 3. Уровень воды в сосуде до опускания в него льда равен

.

Так как поперечные размеры ледяного кубика заведомо меньше 10 см (например, длина его ребра ), то кубик после опускания в сосуд с водой не коснется дна и буде плавать. При этом в соответствии с законом Архимеда кубик вытеснит 100 г воды, и уровень воды в сосуде повысится до величины

.

При таянии льда его масса (а значит, и масса вытесненной им воды) будет уменьшаться настолько, насколько будет увеличиваться масса воды в сосуде. Поэтому уровень воды в процессе таяния льда изменяться не будет и останется равным H = 11 см.

Определим теперь состав системы после таяния льда. При охлаждении имевшейся в сосуде воды от t₁ = 5 ^oC до t₂ = 0 ^oC может выделиться количество теплоты

,

а для полного расплавления кубика льда необходимо количество теплоты

.

Следовательно, к тому моменту, когда вода охладится до 0 ^оС, растает не весь лед, а только его часть массой

 г.

Таким образом, в сосуде будет находиться при температуре t = 0 ^oC лед массой

.