Условия задач 7 класс.

1. Две лягушки, большая и маленькая, прыгают по дорожке. Сначала они находятся рядом и первый прыжок делают одновременно. Маленькая лягушка делает один скачок на 5 см каждую секунду, а большая делает один скачок на 20 см каждые 3 секунды, но зато после каждого третьего прыжка отдыхает лишние 6 секунд. В результате маленькая лягушка то опережает большую, то отстает от нее. Через какое минимальное время после начала движения маленькая лягушка опередит большую так, что большая лягушка ее больше не нагонит. Считать, что лягушки делают прыжок почти мгновенно.

2. При нормальном давлении и температуре 20 ^oС плотность водорода равна 0,09 кг/м³, а плотность неизвестного газа в 35,5 раза больше плотности водорода. При одной и той же температуре и давлении все газы содержат одинаковое число молекул в единице объема. Найти массу молекулы неизвестного газа, если масса молекулы водорода равна 3,3·10^–27 кг.

3. Плотность сухого песка равна 2,25·10³ кг/м³, а плотность очень влажного песка, насыщенного водой, равна 2,7·10³ кг/м³. Найти среднюю плотность песчинок.

4. Канат одним концом привязан к стене. Мальчик Петя держится за свободный конец каната и растягивает его горизонтально с силой 200 Н. Мальчик Миша берется за середину каната и тянет его по направлению к стене с силой 120 Н. Маша посредине между стеной и Мишей тянет канат в том же направлении, что и Петя, с силой 40 Н. Найти натяжение каната между стенкой и Машей.

5. Два автомобиля одновременно выезжают из двух городов, А и Б, и едут навстречу друг другу по одной дороге, соединяющей эти два города. Первый автомобиль, выехавший из A в Б, на первой половине пути имеет скорость 40 км/ч, на второй – 80 км/ч. Второй автомобиль первую половину времени своего движения из Б в А движется со скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 60 км/ч. Расстояние между городами 96 км. Найти, на каком расстоянии от города A произошла встреча автомобилей.

6. В стакан с водой (200 мл) положили 5 г поваренной соли, которая полностью растворились в воде. После этого содержимое стакана вылили в кастрюлю, содержащую 2 л чистой воды, и хорошо перемешали полученный раствор. После этого из кастрюли зачерпнули полный стакан. Сколько соли растворено в растворе, который содержит теперь стакан.

Решение задач.

Решение 1. Построим графики движения обеих лягушек (рис.).

Здесь по оси абсцисс отложено время t (в секундах), а по оси ординат – расстояние (в сантиметрах) от точки начала движения для маленькой лягушки s и большой лягушки S.

Из рисунка видно, что последнее пересечение графиков происходит при t = 24 c, когда большая лягушка отдыхает второй раз.

Заметим, что в момент t = 36 c обе лягушки прыгают одновременно, и большая приземляется в точку, из которой только что прыгнула маленькая лягушка. Так как прыжок происходит не мгновенно, а «почти мгновенно», то в этом месте большая лягушка все-таки не догоняет маленькую.

Решение 2. Плотность газа связана с числом молекул в единице объема n соотношением , откуда , где m – масса одной молекулы. Так как при одной и той же температуре и давлении все газы содержат одинаковое число молекул в единице объема, то справедливо следующее соотношение:

.

Здесь индексами «x» и «в» помечены величины, относящиеся к неизвестному газу и водороду соответственно. Из полученного соотношения можно найти массу молекулы неизвестного газа:

 кг.

Решение 3. Сухой песок состоит из песчинок плотностью r и воздуха, плотностью которого можно пренебречь. Насыщенный водой песок состоит из тех же песчинок и воды плотностью r_в, которая заполняет весь тот объем, который был заполнен воздухом. Обозначим через V_п объем, занимаемый песчинками, а через V_в – объем, занимаемый воздухом в сухом песке или водой во влажном песке. Тогда плотность r_вл влажного песка и плотность r_сух сухого песка равны соответственно:

.

Из этих уравнений можно найти отношение

.

Окончательно получаем:

 кг.

Решение 4. Сила натяжения каната должна уравновешивать сумму сил, которая приложена к канату со стороны детей:

200 H – 120 H + 40 H = 120 H.

Решение 5. Второй автомобиль будет двигаться с меньшей скоростью меньшую часть пути, т. к. времена движения t на этих частях должны быть равны. Поскольку

,

то t = 0,96 ч, и за это время второй автомобиль пройдет 40×0,96 = 38,4 (км), как и первый, который вначале движется с такой же скоростью. К этому моменту времени расстояние между автомобилями будет равно 96 – 2×38,4 = 19,2 (км). В дальнейшем второй автомобиль будет двигаться со скоростью 60 км/ч, а первый до достижения середины пути, т. е. 48 км, – с прежней скоростью 40 км/ч. Встреча автомобилей произойдет спустя время t₁ = 19,2/(40 + 60) = 0,192 ч на расстоянии 38,4 + 40×0,192 ч на расстоянии 38,4 + 40×0,192 = 38,4 + 7,68 = 46,08 (км) от города A.

Решение 6. После смешивания стакана раствора с чистой водой, находившейся в кастрюле, получится 2 л + 0,2 л = 2,2 л раствора с растворенными 5 г соли. В 200 мл этого раствора будет содержаться x г соли. Составим пропорцию:

2,2 л – 5 г;

0,2 л – x г.

Отсюда x = 5/11 г » 0,45 г.