Поскольку этот процесс весьма важен, мы сочли необходимым дать теорию погрешностей  по книге Г.С.Кембровского "Приближенные вычисления, методы обработки результатов измерений и оценки погрешностей в физике”. 

                При любых расчетах, в том числе и при решении задач по физике и обработке результатов измерений надо различать точные и приближенные числа. Это важно потому, что в тех случаях, когда значения всех исходных данных являются точными, расчеты производят по правилам точных вычислений, а если среди значений исходных данных имеются приближенные, расчеты ведут по правилам приближенных вычислений.

                Точными числами будут: некоторые числовые коэффициенты и показатели степени в формулах, коэффициенты, выражающие кратность и дольность единиц измерения, числа, обозначающие цены, тарифы, масштабы, числа, заданные определениями и т. д. Например, точными являются коэффициент 4/3 и показатель степени 3 в формуле объема шара V=4/3, коэффициенты 100 и 1/60 в равенствах 5 м = 5 100 см, 3 мин = 3 1/60 часа; число 2 в химической формуле воды Н₂О; точка кипения воды (при нормальном давлении) t = 1000С; показатель преломления вакуума n = 1 log_aa = 1  и  т.д.

            К приближенным числам относятся результаты измерений различных величин, округленные значения точных чисел, табличные значения математических, физических, химических величин и др.

Абсолютная и относительная погрешности

            При измерении различных величин в подавляющем большинстве случаев получаются  приближенные значения. Иными словами, если измеряется некоторая величина x, то результат x_изм несколько отличается от истинного значения x_ист .

Разность между приближенным значением x _изм  и точным значением x_ист

x_изм - x_ист =x         (1)

x характеризует отклонение полученного результата от истинного значения искомой и называется абсолютной погрешностью измерения. При x_изм< x_ист абсолютная погрешность отрицательна, при x_изм> x_ист - положительна.

В большинстве случаев точное значение величины х неизвестно и, следовательно, не всегда можно определить знак погрешности, но практически это бывает несущественно: важна лишь величина отклонения. Поэтому погрешность измерения характеризуют модулем разности

            При повторных измерениях в одних и тех же условиях опыта результаты оказываются разными - наблюдается их разброс. Это указывает на неодинаковые значения абсолютных погрешностей в разных опытах. Максимальная абсолютная погрешность X  является верхней границей погрешности . Она определяется неравенством

       (2)

и принимается за количественную оценку точности измерения.

            Величину принято называть абсолютной погрешностью измерения,  понимая под этим модуль границы абсолютной погрешности.

Из неравенства (2) следует, что

   (3)

т. е. истинное значение величины x_ист  лежит в интервале . Абсолютная погрешность  определяет полуширину этого интервала .

            Результат измерений записывается в следующей форме:

Х = Х_изм           (4)

            Например, диаметр поршня d = (104,5  0,2) мм. Отсюда следует, что нижняя граница погрешности НГ (d) = 104,3 мм, верхняя граница погрешности ВГ (d) = 104,7 мм, а само значение диаметра поршня лежит в интервале от 104,3 до 104,7 мм.

            Приведенная форма записи называется интервальной.

            Абсолютная погрешность  не всегда удобна для характеристики точности измерения.

Для определения и сравнения точности измерений используют относительную погрешность - отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:

        (5)

            Величина является верхней границей абсолютной погрешности, а величина  - верхней границей относительной погрешности.

            Из соотношения (5) следует , что относительная погрешность показывает какую часть (долю) абсолютная погрешность составляет от самой величины. Обычно относительную погрешность выражают в процентах:

 100 %

            Например, если период колебаний маятника Т = 1,55 с измерен с точностью до трех сотых долей секунды ( Т = 0,03 с), то относительная погрешность:

Это означает, что абсолютная погрешность  составляет две сотые доли от значения измеряемой  величины Т.

            Относительную погрешность целесообразно указывать в ответе.

            Например, сила тока I = (170 5) мА;   = 3 %

Значащие цифры

            Значащими цифрами числа называются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа. Например, числа 3,1416; 6,023×10²³; 0,017 имеют соответственно 5, 4 и 2 значащие цифры. Можно сказать иначе; первое число пятизначное, второе – четырехзначное, третье – двухзначное.

            Нули, стоящие в начале числа не являются значащими. Они служат только для обозначения того или иного разряда. Например, число 0,0172 содержит только три значащих цифры.

            Следует с самого начала учить детей представлять числа в стандартной форме. В этом случае первую цифру числа ставят в разряд единиц, а остальные – в десятичные разряды после запятой. Полученное число умножается на 10^N, где N – соответствующее положительное или отрицательное число. Например, G = 6,67.10^-11 Н.м²/кг^2..

Верные, сомнительные и неверные цифры.

            Приближенные числа, полученные в результате измерений и вычислений, могут содержать разное количество значащих цифр, среди которых есть верные, сомнительные и неверные цифры.

            Цифра приближенного числа считается верной, если его абсолютная погрешность не превышает одной единицы того разряда, в котором стоит данная цифра. Например, 46 ± 2 абсолютная погрешность 2 не превышает одного десятка (2<10), но превышает одну единицу (2>1). Поэтому цифра 4 является верной, а о цифре 6 этого сказать нельзя.

Измерения и погрешности

Измерением называют нахождение физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Прямым  называют такое измерение, при котором значение искомой величины определяется  при сравнении ее с эталоном (длина – линейкой, время – секундомером…)

Косвенное -  это такое измерение, при котором значение определяемой величины находится по формуле как функция других величин. ( r = m/V, v = S/t…)

И в том и в другом случае результат получается с погрешностью.

Источников погрешностей много: влияние внешних факторов, несовершенство наших органов чувств, изменение самого измеряемого объекта и т.д.

 Погрешности делятся на систематические, случайные и промахи.

Погрешности, размер и знак которых меняется произвольно от измерения к измерению к опыту, называются случайными. Избежать их невозможно.

Систематические погрешности  уменьшают, лишь усовершенствовав эксперимент (объем измерять не мензуркой, а гидростатическим взвешиванием и т.д.), улучшив измерительную технику и приборы…