№08

Искусственный спутник Земли двигался по круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли. При изменении орбиты кинетическая  энергия спутника уменьшилась в n раз. На сколько изменился радиус Земли.

Дано             Решение

R=h₁                    E₁= ; v₁=; v₂=;

=n            v₁= = ;

_ΔR - ?             ; ; R+h₁=; R+h₂=;

                      (R+h₂-R-h₁) = h₂-h₁ = (R₃+h)(n-1).

Ответ: (R₃+h)(n-1).

№12

Докажите, что квадраты  периодов обращения планет вокруг солнца, относятся как кубы радиусов их орбит, если их считать круговыми.

Решение:

Пусть в системе двуг притягивающихся тел, которые обращаются вокруг общего центра масс, расстояние между центрами R, а от центра масс, соответственно r₁ и r₂. Тогда на основании закона всемирного тяготения центростремительные ускорения a₁=G; a₂=G. Угловая скорость обращения ω =, где Т – период обращения. Т.к. a = ω²R имеем a₁=r₁; a₂=r₂; складывая полученные выражения почленно, получаем G=(r₁+r₂), отсюда (M₁+M₂), так как = const, масса планет по отношению к массе солнца мала, то в первом приближении это соотношение справедливо для любой системы взаимодействующих тел.

№18

Две звезды под действием взаимного гравитационного притяжения движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра масс с периодом 2 года. Сумма масс звёзд m₁+m₂=2M₀, где M_o – масса Солнца. Найдите расстояние между звёздами, зная, что среднее расстояние от Земли до солнца равно r₀ = 149,6·10⁶ км, а период обращения Земли вокруг солнца Т₀ = 1 год.

Решение:

Так как расстояние между звёздами равно 2R, то ; v² = ;

 отсюда v =; T = ; r = ·r₀ = 2,7r₀ = 403,9·10⁶ км.

Ответ: 403,9·10⁶ км.

№19

Три звезды одинаковой массы образуют равносторонний треугольник со стороной L и движутся вокруг общего центра масс по круговой орбите с периодом T. Каковы массы M звёзд.

    Дано:              Решение:

M₁=M₂=M₃=M                 

L₁=L₂=L₃=L       

T                           , так как T = =;

M - ?                     ; M =   .

Ответ:   .

№21

Однородная шарообразная планета имеет массу M и радиус R. Рассчитайте давление p внутри планеты, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния от центра планеты.

    Дано:        Решение:

M                 Планету считаем однородным шаром. Тогда давление определится

R                  отношением силы тяжести, действующей на шаровой слой к площади

                     поверхности.

P - ?               S = 4πr² ;   

                             F = mg ;

 где r – расстояние от центра планеты,

R  -  радиус планеты.

         Ответ: p =.

№25

Вообразим, что строительная техника позволяет возводить сколь угодно высокие сооружения. Какую высоту должна была бы иметь башня, расположенная на экваторе Земли, чтобы тела находящиеся на её вершине были бы невесомы.

Дано:                                                  Решение:  

Н – высота башни                   

R=6371 км – радиус Земли    С одной стороны F = mω²(R+H);

F – сила притяж. тела к Земле    с другой — F  =;

                                                  mω²(R+H)  =;