Нетрудно догадаться, что описанные в задаче спутники являются Фобосом и Деймосом, хотя в эпоху древней марсианской цивилизации их названия могли быть иными. Для расчета больших полуосей спутников необходимы сидерические периоды (Т₁ и Т₂), которые найдем по формуле:

, где Р_1,2 – соответствующие синодические периоды, Т₀ – продолжительность марсианского года. Так как Р_1,2 много меньше Т₀, получим, что

Т₀=0,31 марсианских  солнечных суток,

Т₀=1,23 марсианских солнечных суток.

Тогда по третьему закону Кеплера

Большая полуось внутренней планеты равна

    (м.а.е. – марсианские а.е.)

Максимальное угловое удаление от Солнца:

.

Можно догадаться, что данная планета – Земля.

14. Радиус орбиты спутника

Минск (, ) и Могилев (, ) находятся на одной широте, что упрощает задачу. В Минске (точка М на рисунке) спутник находится на небесном меридиане, при этом его зенитное расстояние  Z_м найдем по теореме синусов.

 Решая данное уравнение численно, получим Z_м=61,5°. Соответственно, h_М=90° - 61,5°=28,5°. При изменении долготы на 2°46′ высота спутника практически не изменится, а по азимуту сместится на запад на угол около 3,5°. Поэтому горизонтальные координаты спутника в Могилеве будут равны: А=3,5°, h=28,5°.

15. Планета с исключительным показателем преломления атмосферы у поверхности n=1,5 будет иметь сильную рефракцию, которая приведет к различным наблюдательным эффектам. Выведем формулу, связывающую угол  рефракции и показатель преломления. Простую формулу можно получить, если рассмотреть плоскопараллельную модель атмосферы планеты:

,  где z′ - видимое зенитное расстояние объекта, р – угол рефракции.          С учетом полученной формулы высота местной полярной звезды над горизонтом изображена на графике.

16. Математики двигаются по круговой орбите с постоянной скоростью.  

 Время, за которое они достигнут точки В:
 

 При этом максимальная и средняя скорости равны. Физики двигаются по диаметру галактики по гармоническому закону:

, где g –ускорение на расстоянии r  от центра.

Решением является дифференциальное уравнение второго порядка  , из которого следует, что,  период колебания ,